要证明向量空间V的子向量空间U和W的交集U交W也是V的子向量空间，我们可以按照以下步骤进行：
1. 证明U交W对加法封闭： 假设u和v都是U交W中的向量。 这意味着u和v既属于U也属于W。 由于U和W都是V的子向量空间，它们各自对加法封闭。 因此，u+v既属于U也属于W，即u+v属于U交W。 所以，U交W对加法封闭。
2. 证明U交W对数乘封闭： 假设k是一个标量，u是U交W中的一个向量。 因为u属于U也属于W，且U和W都是V的子向量空间，它们各自对数乘封闭。 所以，ku既属于U也属于W，即ku属于U交W。 因此，U交W对数乘封闭。
综上所述，U交W满足向量空间的两个主要性质：对加法和数乘封闭，所以U交W是V的子向量空间。
