(普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))本小题满分10分.设数列 ,即当 时, ,记 ,对于 ,定义集合(1)求集合 中元素的个数; (2)求集合 中元素的个数.

[答案]本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 的定义得: , , , , , , , , , , ∴ , , , , , , , , , , ∴ , , , , ∴集合 中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, ①当 时, 故原式成立 ②假设当 时,等式成立,即 故原式成立 则: ,时, 综合①②得: 于是 由上可知: 是 的倍数 而 ,所以 是 的倍数 又 不是 的倍数, 而 所以 不是 的倍数 故当 时,集合 中元素的个数为 于是当 时,集合 中元素的个数为 又 故集合 中元素的个数为