银行应该承担责任，且在此事件中负有重大管理责任，应对纪女士的存款丢失负有全部责任并进行全额赔偿。具体分析如下：
储户的存款存在银行后，银行对存款的安全有法定的监管义务与安全保障义务。《商业银行法》第六条规定，商业银行应当保障存款人的合法权益不受任何单位和个人的侵犯。若违反该义务规定，商业银行就应对此承担不利后果。董某利用职务便利，挪用客户资金归个人使用，数额较大不退还，其行为涉嫌构成《刑法》上的挪用资金罪。而银行应对纪女士存款负有本金和利息的全部偿还责任。储户存款的安全是银行存在的必要前提，只要不是存款人个人具有责任，银行都应确保存款人的资金安全，出现任何风险损失，银行应负责赔偿。
